如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于A.8πB.πC.9πD.π

如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为 $数学公式$ 的正方形，则它的外接球的表面积等于

A.8π

B.π

C.9π

D.π

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正确答案：B

分析：由题意可得：正三棱柱的高是 $数学公式$ ，底面正三角的高也是 $数学公式$ ．设球心为O，半径为R，△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG= $数学公式$ ，所以GA= $数学公式$ ．在△OAG中由勾股定理得：R²= $数学公式$ ．进而得到答案．

解答：因为正三棱柱ABC-DEF的左视图是边长为 $数学公式$ 的正方形，

所以正三棱柱的高是 $数学公式$ ，底面正三角的高也是 $数学公式$ ．

设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，

所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG= $数学公式$ ，

GA是正三角形ABC的高的 $数学公式$ ，

所以GA= $数学公式$ ．

在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²

解得：R²= $数学公式$ ．

∴球的表面积为4πR²= $数学公式$ ．

故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义，在球的内接多面体中一般容易出现直角三角形，进而利用勾股定理解决问题即可．